Γραμμικός Προγραμματισμός: Κεφάλαιο 2.2 - λίγη γραμμική άλγεβρα & αναλυτική γεωμετρία - απόσταση σημείου - υπερεπιπέδπου
Στο προηγούμενο μέρος του κεφαλαίου δείξαμε πως μπορούμε να γράφουμε τα υπερεπίπεδα και τις ευθείες σε άλγεβρα και αποδείξαμε τις εξισώσεις:
\(=|\vec{a}\cdot\vec{x}-\vec{a}\cdot\vec{x_0}|\)
\(\vec{x} \cdot \vec{a} = -c \hspace{5mm} (1)\)
\(H_{\vec{a}, c} = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \vec{a} \cdot \vec{x} = - c\} \hspace{5mm}(2)\)
Την (1) την ονομάσαμε Εσσιανή Κανονική Μορφή. Θα δούμε ότι είναι πολύ εύκολο να βρούμε την απόσταση ενός σημείου από ένα υπερεπίπεδο, αν μας δίνεται το υπερεπίπεδο στην μορφή της (2). Θυμόμαστε ότι το \(\vec{a} \perp Η_{\vec{a}, c}\) και \(\|a\| = 1\). Επίσης, ότι το υπερεπίπεδο απέχει \(|c|\) από την αρχή των αξόνων. Έστω Χ το σημείο του οποίου θέλουμε να βρούμε την απόσταση από το \(H_{\vec{a}, c}\), τότε, ξέρουμε ήδη από το σχολείο, ότι όταν λέμε απόσταση σημείου από υπερεπίπεδο εννοούμε κάθετη απόσταση.
Ας προσπαθήσουμε να "πιάσουμε" το σημείο Χ. Θεωρούμε ένα σημείο \(X_0\) πάνω στο υπερεπίπεδο, τότε παρατηρούμε ότι το μέτρο του διανύσματος \(\vec{w} := \vec(OX) - \vec{Ox_0}\) παριστάνει κάποια έννοια απόστασης από το υπερεπίπεδο· όχι όμως την κάθετη!
Ξέρουμε ότι το \(\vec{a} \perp H_{\vec{a}, c}\), οπότε αρκεί να πάρουμε την συνιστώσα του \(\vec{w}\) που είναι παράλληλη στο \(\vec{a}\). Πιο μαθηματικά θα πάρουμε την προβολή του \(\vec{w}\) στο \(\vec{a}\). Δηλαδή καταλήγουμε στην (3).
 | |||||
| Σχήμα 1: Κάθετη απόσταση σημείου από υπερεπίπεδο |
Ας προσπαθήσουμε να "πιάσουμε" το σημείο Χ. Θεωρούμε ένα σημείο \(X_0\) πάνω στο υπερεπίπεδο, τότε παρατηρούμε ότι το μέτρο του διανύσματος \(\vec{w} := \vec(OX) - \vec{Ox_0}\) παριστάνει κάποια έννοια απόστασης από το υπερεπίπεδο· όχι όμως την κάθετη!
 | |
| Σχήμα 2: Το διάνυσμα w = OX - OX_0 |
Ξέρουμε ότι το \(\vec{a} \perp H_{\vec{a}, c}\), οπότε αρκεί να πάρουμε την συνιστώσα του \(\vec{w}\) που είναι παράλληλη στο \(\vec{a}\). Πιο μαθηματικά θα πάρουμε την προβολή του \(\vec{w}\) στο \(\vec{a}\). Δηλαδή καταλήγουμε στην (3).
\(d(H_{\vec{a}, c}, \vec{x}) = \|proj_{\vec{a}}(\vec{x} - \vec{x_0})\| \hspace{5mm} (3)\)
και γεωμετρικά:
Για το σχήμα, αρκεί να επισημάνουμε ότι το \(\vec{a'}\) είναι το \(\vec{a}\) απλά μετατοπισμένο παράλληλα στον εαυτό του, ώστε η αρχή του να είναι το κοντινότερο σημείο του \(Η_{\vec{a}, c}\) στο Χ. Ας δουλέψουμε λίγο τον τύπο (3):
\( d(H_{\vec{a}, c}, x) \) \(= \|proj_{\vec{a}}( \vec{x} - \vec{x_0}) \| \)
\(\overset{\|\vec{a}\|=1}{=}|\vec{a}(\vec{x}-\vec{x_0})|\)
 | |
| Σχήμα 3: Γεωμετρική αναπαράσταση του τύπου (3) |
Για το σχήμα, αρκεί να επισημάνουμε ότι το \(\vec{a'}\) είναι το \(\vec{a}\) απλά μετατοπισμένο παράλληλα στον εαυτό του, ώστε η αρχή του να είναι το κοντινότερο σημείο του \(Η_{\vec{a}, c}\) στο Χ. Ας δουλέψουμε λίγο τον τύπο (3):
\( d(H_{\vec{a}, c}, x) \) \(= \|proj_{\vec{a}}( \vec{x} - \vec{x_0}) \| \)
\( = \|\frac{\vec{a}(\vec{x} - \vec{x_0})}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}\| \)
\( = \frac{ | \vec{a} ( \vec{x} - \vec{x_0} ) | }{ \| \vec{a} \|^2 } \| \vec{a} \| \)
\(=|\vec{a}\cdot\vec{x}-\vec{a}\cdot\vec{x_0}|\)
\(\overset{\vec{x_0}\in H_{\vec{a},c}}{=}|\vec{a}\cdot\vec{x}+c|\) (4)
Τελικά (4) : \( d(H_{\vec{a}, c}, x) \) \( = | \vec{a}\cdot\vec{x} + c | \), (συγκρίνετε την (4) με (1)). Τώρα έχουμε ολοκληρώσει τα μαθηματικά εργαλεία που χρειαζόμαστε για να προχωρήσουμε στη μέθοδο Simplex, στο επόμενο κεφάλαιο.
Σημειώσεις:
Αν δεν εμφανίζονται σωστά τα μαθηματικά σύμβολα, παρακαλώ πατήστε Ctrl+F5.
Τα σχήματα έγιναν με τον GeoGebra5. Το πρόγραμμα διατίθεται για Windows, Mac και Linux.
Για μαθηματικά σύμβολα στο blogger ακολούθησα αυτές εδώ τις οδηγίες
Πλοήγηση
Σημειώσεις:
Αν δεν εμφανίζονται σωστά τα μαθηματικά σύμβολα, παρακαλώ πατήστε Ctrl+F5.
Τα σχήματα έγιναν με τον GeoGebra5. Το πρόγραμμα διατίθεται για Windows, Mac και Linux.
Για μαθηματικά σύμβολα στο blogger ακολούθησα αυτές εδώ τις οδηγίες
Πλοήγηση
Σχόλια
Δημοσίευση σχολίου